07.时域到频域的变化-傅里叶变换

1. 傅里叶级数的基本概念

• 将以时间为变量的函数（时域信号）变换为以频率为变量的函数（频域表示），即从“时间域”到“频率域”的转换。
• 傅里叶级数（Fourier Series）描述的核心现象是：

  任何周期函数都可以用一组正弦函数（sine）和余弦函数（cosine）构成的无穷级数来表示。

2. 方波信号的傅里叶级数展开示例

• 以方波（square wave）为例，其基频为 F。
• 根据傅里叶级数理论，该方波可由一系列频率为 F 的整数倍的正弦/余弦函数叠加逼近。
• 关键观察：
  • 所讨论的方波关于 y 轴对称（即偶函数），因此只包含余弦项（cosine terms），不含正弦项（sine terms）。
  • 进一步分析发现，该方波还具有半波反对称性（odd harmonic symmetry），导致偶次谐波的系数为零。
  • 仅奇次谐波（1F, 3F, 5F, 7F, …）存在非零幅度。

    （叠加更多奇次谐波后，合成波形越来越接近原始方波）

  • 随着叠加的谐波数量趋于无穷，合成信号将无限逼近原始方波。
  • 高频分量的幅度逐渐减小，即高频贡献较小。

3. 傅里叶级数的一般数学表达式

• 一般周期函数 f(t)的傅里叶级数展开式为：

其中：

• ω0=2πFF 是基波角频率；

• an​ 和 bn分别是余弦项和正弦项的幅度系数；

• 系数可通过积分公式计算。

• 对于所讨论的偶函数方波：

  • 所有 bn=0（无正弦项）；
  • 所有偶数n 对应的 an=0；
  • 仅奇数n对应的 an≠0，且随 n增大而减小。

4. 系统响应与线性系统的叠加原理

• 若将周期信号输入一个线性系统（Linear System），其输出响应等于：

  各个傅里叶分量（正弦/余弦）分别输入系统后所得响应的叠加。

• 此结论依赖于系统的线性与时不变性（LTI, Linear Time-Invariant）。
• 实际中，多数系统在小信号条件下可近似为线性系统。
• 因此，研究复杂周期信号的系统响应，可转化为研究各频率分量的响应：
  • 若所有频率分量的输出均稳定 → 整个信号输出稳定。
• 这正是从时域分析转向频域分析的核心动机。

5. 频域表示：幅度谱与相位谱

• 傅里叶级数不仅提供幅度信息，还包含相位信息。

• 对于每个频率分量 nF，需两个参数描述：

  1. 幅度（Amplitude）→ 构成幅度谱（Magnitude Spectrum）；
  2. 相位（Phase）→ 构成相位谱（Phase Spectrum）。

• 对所讨论的方波：

  • 幅度谱：
    • 仅在奇次谐波（1F, 3F, 5F, …）处有非零值；
    • 幅度随频率升高而衰减；
    • 偶次谐波（2F, 4F, …）幅度为零。
  • 相位谱：
    • 所有存在的奇次谐波相位为0；
    • 偶次谐波虽幅度为零，但若考虑其相位，则为π（180°），不过因幅度为零，实际不影响合成结果。

6. 周期信号频谱的离散特性

• 周期信号的频谱是离散的（Discrete）：
  • 能量仅集中在基频的整数倍处（即谐波频率）；
  • 幅度谱和相位谱均由一系列离散的谱线（spectral lines）组成。
• 这与非周期信号的连续频谱形成对比。
• 因此，周期函数的傅里叶级数天然对应离散频谱。