在考研数学的线性代数强化阶段，最容易出现一种“假会”状态：简单题能算，但一旦碰到矩阵运算、可逆性、秩综合在一起的抽象题，思路就容易断。尤其是Day38这类题目，表面是“每日一题”，实际却把矩阵计算及运算律、可逆判定及逆矩阵求法、矩阵秩的定义及性质全部串起来考。很多同学不是知识点没学过，而是缺少一道题把这些知识拧成一股绳。
这篇文章就以“27考研数学线代强化精选——每日一题Day38”为切入点，把矩阵三大核心考点重新梳理一遍。我们会先讲清楚每个考点的底层逻辑，再给出一道Day38风格的完整综合题，最后补充常见错因与强化阶段的复习建议。无论你是刚开始线代强化，还是已经刷完一遍基础题想拔高，这篇内容都值得耐心读完。
1. 为什么线代强化阶段要重视“每日一题”这种训练
线性代数在考研数学里占比不算最高，但它的特点非常鲜明：概念密集、前后联系紧密、题型套路化。比如“可逆”这个概念，第一章矩阵里会提，第二章行列式里会从行列式角度再定义一次，第三章向量组里又会用“满秩”来描述它，第四章线性方程组则会用“只有零解”来等价刻画。
如果按章节顺序学完就扔到一边，就会造成知识断层。很多同学到了强化阶段做真题，发现题目本身并不长，可每一个选项、每一个小问都在反复横跳于多个知识点之间，这个时候就需要通过综合题把碎片串联起来。
“每日一题”的最大价值就在这：它不像基础阶段那样只练单一运算，而是每天用一道题强迫你把矩阵、行列式、秩、方程组等知识放在同一张草稿纸上综合调用。Day38这道题选取了三个核心考点：
- 矩阵计算及运算律；
- 可逆判定及逆矩阵求法；
- 矩阵秩的定义及性质。
这三个考点几乎覆盖了线代强化前期最重要的内容。只要这道题吃透了，后续遇到抽象矩阵题就不会再觉得无从下手。
2. Day38知识储备与符号约定
在进入正式讲解之前，我们需要统一一下符号和前置知识，避免后面读起来混乱。
2.1 需要具备的前置基础
这里默认你已经学过线性代数第一轮基础内容，至少需要掌握以下概念：
- 矩阵乘法运算；
- 单位矩阵E、零矩阵O；
- 方阵的行列式计算方法；
- 矩阵的初等行变换；
- 向量组线性相关与线性无关；
- 齐次线性方程组解结构。
如果你目前只是刚刚接触线代，建议先把这些基础概念过一遍，再来看本文的强化题型。不然直接看综合题，可能会卡在中间的某一个推导步骤上。
2.2 本文使用的符号约定
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| $A^T$ | 矩阵 $A$ 的转置 |
| $A^{-1}$ | 方阵 $A$ 的逆矩阵 |
| $A^*$ | 方阵 $A$ 的伴随矩阵 |
| $\lvert A \rvert$ 或 $\det(A)$ | 方阵 $A$ 的行列式 |
| $r(A)$ | 矩阵 $A$ 的秩 |
| $E$ 或 $E_n$ | $n$ 阶单位矩阵 |
| $O$ | 零矩阵 |
另外，本文中的矩阵默认都是数域上的矩阵，例如实数域。涉及乘法时，默认矩阵维度满足可乘条件；涉及可逆、行列式时，默认矩阵是 $n$ 阶方阵。
2.3 一个有效的做题习惯：写化简步骤时备注依据
Day38这种综合题，很多时候不是“会不会做”的问题，而是“写两步就乱”的问题。建议在练习时养成一个习惯：每做一步化简，在旁边用简短的文字标记这一步的依据。
例如：
- “两边乘 $A^{-1}$”说明用到了可逆矩阵的定义；
- “由 $r(A)+r(B)\ge r(A+B)$”说明用到了秩的次可加性；
- “由 $(A-E)(B-E)=E$”说明用到了方阵乘法互为逆的定义。
这样训练一段时间后，你会发现自己对定理的敏感度会明显提高，做题也不容易跳步丢分。
3. 核心考点一：矩阵计算及运算律
这一部分我们重点解决一个问题：矩阵运算和普通数的运算到底有哪些相同、哪些不同？只有把这个问题搞清楚，后面的抽象矩阵题才不会想当然。
3.1 矩阵乘法不满足交换律
先来看一个最基础的例子。
设
$$ A=\begin{bmatrix}1&1\0&1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0&1\1&0\end{bmatrix} $$
计算可得：
$$ AB=\begin{bmatrix}1&1\1&0\end{bmatrix},\quad BA=\begin{bmatrix}0&1\1&1\end{bmatrix} $$
显然 $AB\neq BA$。
这个例子告诉我们，矩阵乘法中 $AB$ 与 $BA$ 是两个不同的对象。普通代数里我们习惯写 $a b = b a$，但在矩阵运算里，一旦涉及两个矩阵相乘，就必须严格区分“左乘”和“右乘”。
实际解题中，很多人会在配方时犯错误。比如已知 $AB=A+B$，想通过添项构造因式，就必须注意因子放在左边还是右边。
3.2 矩阵乘法的运算律对照
下面用表格梳理一下矩阵运算中哪些运算律成立，哪些不成立。
| 运算律 | 是否成立 | 说明 |
|---|---|---|
| $(AB)C=A(BC)$ | 成立 | 矩阵乘法满足结合律 |
| $A(B+C)=AB+AC$ | 成立 | 矩阵乘法满足分配律 |
| $(A+B)C=AC+BC$ | 成立 | 矩阵乘法满足分配律 |
| $k(AB)=(kA)B=A(kB)$ | 成立 | 数与矩阵乘法可交换 |
| $AB=BA$ | 一般不一定成立 | 只有可交换矩阵才成立 |
| $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ | 一般不一定成立 | 展开后有交叉项 $AB+BA$ |
| $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ | 一般不一定成立 | 展开后还有 $BA-AB$ 项 |
在Day38的综合题里，最容易出现的错误就是默认 $AB=BA$。尤其是下面这种操作：
错误写法：
$$ (A+B)^2=A^2+2AB+B^2 $$
如果题目没有给出 $A$ 与 $B$ 可交换，这个式子不能直接使用。正确的展开应当写成：
$$ (A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2 $$
同理：
$$ (A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2 $$
只有当 $AB=BA$ 时，上述两式才分别能化简成我们熟悉的平方差、完全平方公式。
3.3 矩阵运算中的消去律有条件
普通数的运算里，如果 $ax=ay$ 且 $a\neq0$，可以左右同时除以 $a$ 得到 $x=y$。但矩阵运算中不存在“除法”，只有“乘逆矩阵”。也就是说，如果
$$ AX=AY $$
不能直接得到 $X=Y$，必须满足 $A$ 可逆，左乘 $A^{-1}$ 后才能得到 $X=Y$。
这个条件看似简单，但在综合题里很容易被忽略。例如题目只告诉你 $A$ 是三阶矩阵，并没有说 $A$ 可逆，就不能随便消去 $A$。这类陷阱经常出现在矩阵方程、秩的证明题中。
3.4 Day38中的核心技巧：用单位矩阵 $E$ 配凑因式
在抽象矩阵题中，我们经常遇到包含 $A$、$B$、$E$ 的等式，这时候 “配平方” 的思想很有用。
举个例子：如果题目给出
$$ A^2-3A+2E=O $$
因为 $A$ 与单位矩阵 $E$ 永远可交换，所以可以放心因式分解：
$$ (A-E)(A-2E)=O $$
再比如Day38的典型条件：
$$ AB=A+B $$
两边同时减 $A$、减 $B$、加 $E$，目标是构造出 $(A-E)(B-E)$ 的形式：
$$ AB-A-B+E=E $$
于是得到：
$$ (A-E)(B-E)=E $$
这种“提取公因子 + 补 $E$”的方法非常重要，几乎就是解决很多逆矩阵抽象证明题的钥匙。
4. 核心考点二：可逆判定及逆矩阵求法
矩阵可逆性是线性代数的枢纽概念，因为后面讲到向量组、秩、方程组时都会用到它。这里我们先把可逆的判定和求逆方法系统整理一遍。
4.1 等价条件：可逆判定的“一票多证”
对于 $n$ 阶方阵 $A$，以下条件互相等价，看到一个就可以推出其他所有结论：
- $\lvert A\rvert\neq0$；
- $r(A)=n$；
- $A$ 的列向量组线性无关；
- $A$ 的行向量组线性无关；
- 齐次线性方程组 $Ax=0$ 只有零解；
- 对于任意 $n$ 维列向量 $b$，线性方程组 $Ax=b$ 有唯一解；
- 存在 $n$ 阶方阵 $B$，使得 $AB=E$ 或 $BA=E$；
- $A$ 可以表示成有限个初等矩阵的乘积。
这些等价条件不要死记，而要能互相解释。比如为什么 $\lvert A\rvert\neq0$ 等价于 $r(A)=n$？因为行列式不等于0意味着 $A$ 的最高阶非零子式阶数为 $n$，而矩阵的秩就是最高阶非零子式的阶数，所以 $r(A)=n$。
再比如为什么可逆等价于齐次方程只有零解？因为当 $A$ 不可逆时，$\lvert A\rvert=0$，方程组 $Ax=0$ 就会有非零解，这是克莱姆法则的直接推论。
4.2 求逆矩阵的四种思路
4.2.1 定义法
如果存在矩阵 $B$，使得
$$ AB=E $$
那么 $B=A^{-1}$。对于抽象矩阵，定义法非常常用。例如前面由 $AB=A+B$ 推出了：
$$ (A-E)(B-E)=E $$
这里我们不需要先知道 $A-E$ 的行列式，只要看到它乘另一个矩阵等于单位矩阵，就可以判断它可逆，并且它的逆就是 $B-E$。
4.2.2 伴随矩阵法
如果 $A$ 可逆，则：
$$ A^{-1}=\frac{1}{\lvert A\rvert}A^* $$
这里的 $A^*$ 是伴随矩阵。对于二阶矩阵，这个公式用起来很快，后面例题部分会专门演示。对于三阶及以上矩阵，由于伴随矩阵计算量偏大，通常不是计算题的首选，更多用于理论推导。
4.2.3 初等行变换法
这是数值计算最推荐的方法。将 $A$ 和同阶单位矩阵 $E$ 并排写成增广矩阵：
$$ \begin{bmatrix}A & E\end{bmatrix} $$
然后只做初等行变换，把左边的 $A$ 化成 $E$，那么右边自动变成 $A^{-1}$：
$$ \begin{bmatrix}E & A^{-1}\end{bmatrix} $$
这里需要特别注意的是：只能做初等行变换，不能混入列变换。原因是初等行变换等价于左乘初等矩阵，而求逆的过程本质是在解方程组 $AX=E$，左乘可逆矩阵不会改变方程的解关系。
4.3 逆矩阵的常用性质
以下性质在抽象矩阵运算中很常用，建议熟练掌握。
| 性质 | 公式 | 记忆要点 |
|---|---|---|
| 逆矩阵的逆 | $(A^{-1})^{-1}=A$ | 互为逆矩阵 |
| 数乘矩阵的逆 | $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$ | 前提 $k\neq0$ |
| 乘积的逆 | $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ | 穿脱原则，次序反号 |
| 转置的逆 | $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$ | 转置与求逆次序可换 |
| 伴随与逆 | $A^{-1}=\frac{A^*}{\lvert A\rvert}$ | 可逆时交换 |
乘积求逆的顺序很容易记错，可以这样理解：先穿袜子后穿鞋，反过来脱的时候要先脱鞋再脱袜子。所以 $(AB)^{-1}$ 应该先对 $B$ 求逆，再对 $A$ 求逆，写作 $B^{-1}A^{-1}$。
5. 核心考点三：矩阵秩的定义及性质
5.1 什么是矩阵的秩？
关于秩的定义，教材上通常会给出几种等价说法：
- $A$ 中最高阶非零子式的阶数称为矩阵 $A$ 的秩；
- 对矩阵做初等行变换化为行阶梯形矩阵，非零行的行数就是矩阵的秩；
- 矩阵行向量组的秩等于列向量组的秩，都等于矩阵的秩。
第一种定义偏重行列式角度，适合理解“满秩”与可逆的关系；第二种定义偏重计算角度，适合求解具体矩阵的秩；第三种定义偏重向量组角度，适合处理抽象线性相关性问题。
对于 $m\times n$ 矩阵 $A$，有：
$$ 0\le r(A)\le \min{m,n} $$
如果 $A$ 是 $n$ 阶方阵，那么 $r(A)=n$ 当且仅当 $A$ 可逆，当且仅当 $\lvert A\rvert\neq0$。这就是秩和可逆性的桥梁。
5.2 必须掌握的秩不等式
在线代强化阶段，下面几个关于秩的结论用得非常多，最好自己动手证明一遍：
（1）转置不改变秩：
$$ r(A)=r(A^T) $$
（2）数乘矩阵不改变秩（非零常数）：
$$ r(kA)=r(A),\quad k\neq0 $$
（3）两个同型矩阵之和的秩：
$$ r(A+B)\le r(A)+r(B) $$
这个结论可以这样理解：如果把矩阵看成线性映射，两个矩阵相加后像空间不会比各自的像空间直和更大。
（4）矩阵乘积的秩被两个因子的秩限制：
$$ r(AB)\le \min{r(A),r(B)} $$
（5）若 $AB=O$，则：
$$ r(A)+r(B)\le n $$
这里的 $A$、$B$ 都是 $n$ 阶方阵。这个结论在Day38综合题中会用到，需要重点掌握。
（6）可逆矩阵不改变乘积的秩：
如果 $P$ 可逆，则：
$$ r(PA)=r(A),\quad r(AQ)=r(A) $$
左乘、右乘可逆矩阵本质上是在做初等行变换或列变换，不改变矩阵的秩。
5.3 秩在线性方程组中的意义
对于 $n$ 元齐次线性方程组 $Ax=0$，解空间的维数等于：
$$ n-r(A) $$
也就是说，秩越大，约束越强，自由变量越少；当 $r(A)=n$ 时，齐次方程只有零解。
对于非齐次线性方程组 $Ax=b$，有解的条件是：
$$ r(A)=r(A\mid b) $$
当 $r(A)=r(A\mid b)=n$ 时，方程组有唯一解；当 $r(A)=r(A\mid b)<n$ 时，方程组有无穷多解。这个判定是第四章的核心，而它本质上就是矩阵秩的应用。
6. Day38实战演练：三道典型综合题
下面我们进入Day38的精讲环节。这一部分没有空泛的“讲解 PPT 式”知识，而是直接带你做三道题，一道对应一个大考点，并在题目中穿插综合运用。
6.1 题目1：矩阵计算、运算律与可逆判定的综合
题目：设 $A$、$B$ 为 $n$ 阶方阵，且满足
$$ AB=A+B $$
证明：
（1）$A-E$ 与 $B-E$ 都可逆；
（2）$(A-E)^{-1}=B-E$；
（3）$AB=BA$。
分析：这道题不涉及具体数值，而是给了一个抽象等式。突破口在于把 $AB=A+B$ 改造成乘积形式。既然要证明 $A-E$ 可逆，就自然想到往 $(A-E)(B-E)$ 这个方向凑。
解答：
先对已知等式移项：
$$ AB-A-B=O $$
两边同时加单位矩阵 $E$：
$$ AB-A-B+E=E $$
左边恰好是一个因式分解：
$$ (A-E)(B-E)=E $$
因为 $A-E$ 与 $B-E$ 都是 $n$ 阶方阵，且它们的乘积等于单位矩阵。两边取行列式可得：
$$ \lvert A-E\rvert\cdot\lvert B-E\rvert=1 $$
所以：
$$ \lvert A-E\rvert\neq0,\quad \lvert B-E\rvert\neq0 $$
因此 $A-E$ 与 $B-E$ 都可逆。
再根据逆矩阵的定义，由 $(A-E)(B-E)=E$ 可以得到：
$$ (A-E)^{-1}=B-E $$
接下来证明 $AB=BA$。既然 $A-E$ 与 $B-E$ 互为逆矩阵，那么它们的乘法顺序可以交换，即：
$$ (B-E)(A-E)=E $$
展开左边：
$$ BA-B-A+E=E $$
所以：
$$ BA=A+B $$
而已知 $AB=A+B$，故：
$$ AB=BA $$
总结：这道题就是把矩阵运算、可逆判定和逆矩阵求法放在了同一个题目当中。核心技巧是“补一个单位矩阵 $E$ 完成因式分解”。
6.2 题目2：用伴随矩阵法求二阶矩阵的逆矩阵
题目：设
$$ A=\begin{bmatrix}1&2\3&4\end{bmatrix} $$
求 $A^{-1}$。
解答：
第一步，先求行列式：
$$ \lvert A\rvert=1\times4-2\times3=4-6=-2 $$
因为 $\lvert A\rvert\neq0$，所以 $A$ 可逆。
第二步，写出伴随矩阵。对于二阶矩阵：
$$ A=\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix} $$
其伴随矩阵为：
$$ A^*=\begin{bmatrix}d&-b\-c&a\end{bmatrix} $$
所以：
$$ A^*=\begin{bmatrix}4&-2\-3&1\end{bmatrix} $$
第三步，代入公式：
$$ A^{-1}=\frac{1}{\lvert A\rvert}A^* =\frac{1}{-2}\begin{bmatrix}4&-2\-3&1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-2&1\[2pt]\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix} $$
最后验证一下：
$$ \begin{bmatrix}1&2\3&4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-2&1\[2pt]\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix} $$
结果正确。
提醒：二阶矩阵的伴随矩阵可以记口诀“主对角线互换，副对角线变号”，但如果你记不准，还是建议通过代数余子式推导一次。对于三阶及以上的矩阵，计算伴随矩阵时需要对代数余子式做转置，这一步非常容易漏。
6.3 题目3：幂等矩阵的秩恒等式
题目：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且满足：
$$ A^2=A $$
证明：
$$ r(A)+r(E-A)=n $$
分析：满足 $A^2=A$ 的矩阵叫做幂等矩阵，它在考研线性代数中经常出现。这道题考察秩的定义和性质。我们需要同时使用两个方向的不等式。
证明：
因为 $A^2=A$，所以：
$$ A(E-A)=A-A^2=O $$
设 $B=E-A$。注意到 $A(E-A)=O$ 的含义是矩阵 $E-A$ 的每一列都是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解。
设 $r(A)=r$，则齐次方程组 $Ax=0$ 的解空间维数为 $n-r$。因此 $E-A$ 的列向量最多只能张成维数不超过 $n-r$ 的子空间，所以：
$$ r(E-A)\le n-r(A) $$
于是：
$$ r(A)+r(E-A)\le n $$
另一方面，因为：
$$ E=A+(E-A) $$
所以利用秩的次可加性：
$$ r(E)\le r(A)+r(E-A) $$
而 $r(E)=n$，于是：
$$ r(A)+r(E-A)\ge n $$
综合两个方向的不等式：
$$ r(A)+r(E-A)=n $$
证毕。
进一步理解：幂等矩阵 $A$ 可以看作一个“投影”算子，$A$ 的像空间和 $E-A$ 的像空间合起来正好是 $n$ 维空间 $R^n$ 的直和分解。这一点在以后学习特征值、二次型时还会体现。
7. 常见错因与排错清单
这里整理了线代强化阶段同学们最容易出错的几个问题，并给出解决思路。
7.1 矩
阵运算中的高频错因
| 错误现象 | 常见原因 | 解决思路 |
|---|---|---|
| $(AB)^k$ 直接写成 $A^kB^k$ | 默认矩阵乘法可交换 | 若题目没给 $AB=BA$，必须从左到右依次展开 |
| $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ | 套用实数平方差公式 | 先展开成 $A^2-AB+BA-B^2$，除非 $AB=BA$ |
| $AX=AY$ 时直接消去 $A$ | 忽略了 $A$ 不一定可逆 | 判断 $\lvert A\rvert\neq0$ 后才能两边左乘 $A^{-1}$ |
| 因式分解时顺序颠倒 | 没注意矩阵因子不交换 | 每次写出乘积，检查左右顺序是否匹配 |
7.2 求逆矩阵时的高频错因
| 错误现象 | 常见原因 | 解决思路 |
|---|---|---|
| 伴随矩阵的位置写反 | 混淆了矩阵与转置 | 三阶以上必须把代数余子式矩阵转置 |
| 忘写 $\frac{1}{\lvert A\rvert}$ 系数 | 只记忆求伴随步骤 | 熟练记忆 $A^{-1}=\frac{A^*}{\lvert A\rvert}$ |
| 初等行变换过程中使用列变换 | 不了解求逆原理 | 求逆只能做行变换，相当于左乘可逆矩阵 |
| $AB=E$ 却不敢判断可逆 | 对“互为逆矩阵”理解不透 | 方阵条件下，$AB=E$ 推出 $A$、$B$ 均可逆且互为逆 |
7.3 秩性质误用的高频清单
| 错误现象 | 常见原因 | 解决思路 |
|---|---|---|
| 认为 $A\neq O$ 则 $\lvert A\rvert\neq0$ | 混淆“矩阵非零”与“行列式非零” | 非零矩阵可能不可逆，例如 $\begin{bmatrix}1&0\0&0\end{bmatrix}$ |
| 把 $r(A+B)\le r(A)+r(B)$ 记成等号 | 对秩的次可加性不熟 | 取 $A=\begin{bmatrix}1&0\0&0\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}0&0\0&1\end{bmatrix}$ 可以验证等号成立，但一般成立的是不等号 |
| 用 $r(AB)\le r(A)$ 时忽略维度匹配 | 没有确认矩阵可乘 | 先写出矩阵维度，再套结论 |
| $AB=O$ 时认为 $A=O$ 或 $B=O$ | 认为矩阵乘法可以“除零” | 反例很多，例如非零矩阵的平方也可能为零矩阵 |
8. 线代强化阶段的三条复习建议
8.1 每日一题的正确打开方式
每日一题不应该是“看懂答案就算完成”，建议按下面流程操作：
- 限定时间独立完成。如果是选择题或判断题，最好控制在5到10分钟；如果是大题，控制在10到15分钟。
- 对答案时重点看差在哪一步，而不是只看结果对不对。
- 把题目涉及的知识点写在题号旁边。例如本题用的是“可逆矩阵判定”和“秩不等式”，下次复习时就能快速定位。
- 每周回看错题，重新做一遍独立推导。
8.2 建立“结论触发条件”索引
做题经验丰富的人，看到条件就能快速反应出可能的结论。这里整理几个常见触发条件：
| 看到条件 | 想到的结论或技巧 |
|---|---|
| $AB=A+B$ | 尝试补 $E$，变形为 $(A-E)(B-E)=E$ |
| $A^2=A$ | $A$ 是幂等矩阵，$r(A)+r(E-A)=n$ |
| $AB=O$ | $B$ 的列向量是 $Ax=0$ 的解，$r(A)+r(B)\le n$ |
| 需要判断 $A$ 可逆 | 看 $\lvert A\rvert\neq0$、$r(A)=n$、$Ax=0$ 是否只有零解 |
| 证明 $r(AB)=r(B)$ | 尝试利用左乘可逆矩阵不改变秩，或 $A$ 列满秩 |
8.3 不要只背结论，要能独立证明核心结论
线代和高等数学不同，它的公式和结论数量不算特别多，但相互关联很深。如果只背结论不证明，一到综合题就会发现自己不会用。建议把本文中出现的几个重要不等式，例如：
$$ r(A+B)\le r(A)+r(B) $$
$$ r(AB)\le \min{r(A),r(B)} $$
$$ r(A)+r(B)\le n\quad(\text{若 }AB=O) $$
至少独立推导一遍，理解条件在哪里使用，结论在哪里成立。
9. Day39衔接：从“可逆矩阵”走向“初等矩阵”
Day38的关键词是矩阵运算、可逆性和秩。下一步的复习方向，建议聚焦在“初等矩阵与可逆矩阵的关系”上。
这里可以先用一个思考题预热：设 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，将 $A$ 的前两行交换后得到矩阵 $B$，问 $B$ 是否可逆？如果可逆，$B^{-1}$ 与 $A^{-1}$ 有什么关系？
记住一个核心方向：左乘初等矩阵相当于对矩阵做一次初等行变换，右乘初等矩阵相当于对矩阵做一次初等列变换。而任意可逆矩阵都可以表示成有限个初等矩阵的乘积，这正是初等行变换求逆法的理论基石。
把Day38的逆矩阵求法和这个方向串起来看，你的线代强化就会进入一个更系统的状态。复习加油，多动手算一算，比单纯看答案踏实得多。
