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💥第一部分——内容介绍
2DOF机械臂路径规划方法研究
摘要
二自由度（2DOF）机械臂作为结构最简、控制难度最低的串联机械臂结构，是工业分拣、精密定位、教学实验及轻型自动化场景的核心执行机构。路径规划技术是保障2DOF机械臂平稳、安全、高效运行的核心关键，直接决定机械臂末端运动的平顺性、作业精度与避障能力。针对传统2DOF机械臂路径规划存在的运动抖动明显、避障适应性差、轨迹冗余度高、启停冲击大等问题，本文系统开展2DOF机械臂路径规划相关研究。首先梳理2DOF机械臂运动特性与路径规划核心需求，分类阐述传统规划算法与智能规划算法的应用原理及适配场景，分析各类算法在二自由度机械臂作业中的优势与短板。结合轻型自动化作业场景的实际工况，探究适配2DOF低自由度特性的平滑避障路径规划策略，优化路径生成逻辑与轨迹过渡方式，有效改善机械臂运动卡顿、轨迹突变等问题。最后通过场景化仿真验证各类规划方法的作业性能，总结不同工况下最优规划方案的选取原则，为低自由度机械臂高精度、高稳定性的路径规划应用提供理论参考与技术支撑。
关键词：2DOF机械臂；路径规划；轨迹优化；避障规划；运动平顺性
1 绪论
1.1 研究背景与意义
随着轻型自动化、桌面级机器人及智能装备技术的快速迭代，轻量化、小型化、低成本的机械臂得到广泛普及，二自由度机械臂凭借结构简洁、运动耦合性弱、维护便捷、控制成本低廉等优势，成为小型物料搬运、精密点位定位、教学科研实训、轻型加工辅助等场景的主流设备。相较于多自由度冗余机械臂，2DOF机械臂运动空间有限、姿态调节维度单一，其运动性能高度依赖合理的路径规划方案，无规划的盲目运动极易出现轨迹突变、关节冲击、末端定位偏差，甚至引发设备碰撞、作业失效等问题。
路径规划是机械臂运动控制的前置核心环节，核心目标是在既定作业环境中，规划出一条从起始点位到目标点位的安全、平滑、高效的运动路径，同时满足运动学约束、避障约束、平顺性约束等多重条件。对于2DOF机械臂而言，其仅有两个旋转关节，运动维度受限，路径规划无需处理多自由度复杂耦合问题，但对轨迹平滑度、路径简洁度、避障精准度的适配性要求更高。传统固定路径规划方式难以适配动态环境与多变作业点位，存在运动刚性强、适应性差的缺陷，无法满足现代化轻型自动化设备的柔性作业需求。
因此，针对性开展2DOF机械臂路径规划研究，挖掘适配其结构特性的规划算法与优化策略，解决传统规划方法存在的运动不平稳、避障能力弱、轨迹冗余等痛点，能够有效提升小型机械臂的作业精度与运行稳定性，降低设备损耗与作业误差，同时为低自由度机械臂的智能化、柔性化升级提供重要的理论支撑，具备重要的工程应用价值与学术研究意义。
1.2 国内外研究现状
国外针对机械臂路径规划的研究起步较早，已形成成熟的理论体系与技术方案。早期研究主要集中于固定轨迹规划方法，通过预设点位插值实现机械臂定点运动，能够保障简单场景下的运动稳定性，但环境适应性极差。随着智能算法的发展，国外学者逐步将随机采样算法、启发式搜索算法、智能优化算法应用于低自由度机械臂路径规划，有效提升了机械臂的避障能力与路径最优性。部分研究针对2DOF机械臂的运动奇异问题与轨迹平滑问题，优化了多项式插值规划逻辑，实现了关节运动的连续过渡，大幅降低了机械臂启停与轨迹切换过程中的冲击振动。同时，在动态路径规划领域，国外研究通过环境实时感知与路径动态重规划，实现了简单动态障碍场景下的2DOF机械臂安全作业。
国内机械臂路径规划研究近年来发展迅速，研究重点聚焦于算法改进、场景适配与轻量化优化。针对传统采样规划算法冗余节点多、收敛速度慢的问题，国内学者通过偏置采样、贪心策略优化、自适应步长调整等方式改进算法性能，有效提升了低自由度机械臂路径规划的效率与精准度。在轨迹平滑优化方面，国内研究多结合插值优化与轨迹筛选策略，消除2DOF机械臂运动轨迹的拐点突变问题，提升末端作业的平顺性。此外，众多研究围绕工业轻型作业、教学实训等特定场景，定制化设计2DOF机械臂规划方案，实现了规划算法与实际工况的深度适配。
综合国内外研究现状来看，现有规划算法已能够基本实现2DOF机械臂的定点运动与基础避障作业，但仍存在部分短板。多数智能规划算法针对多自由度机械臂设计，应用于2DOF机械臂时存在算法冗余、运算成本过高、实时性不足的问题；部分轻量化规划方法虽运算高效，但避障能力有限、轨迹最优性较差，难以兼顾平顺性、安全性与高效性。因此，亟需进一步优化适配2DOF机械臂结构特性的路径规划方案，实现性能与成本的平衡。
1.3 主要研究内容与章节安排
本文以2DOF串联机械臂为研究对象，聚焦路径规划与轨迹优化核心问题，主要研究内容包括：梳理2DOF机械臂结构特性与运动约束条件，明确路径规划的核心评价指标；分类研究各类主流路径规划算法的原理、流程与适配特性，对比分析各算法在2DOF机械臂作业中的优缺点；针对现有规划方案的短板，探究轻量化、高平顺性的路径规划优化策略；通过场景化仿真对比不同规划算法的作业性能，总结最优工况适配方案。
论文章节安排如下：第一章为绪论，阐述研究背景、意义、国内外研究现状及整体研究框架；第二章分析2DOF机械臂结构与路径规划核心理论基础；第三章分类研究主流路径规划算法的特性与适配性；第四章开展路径规划优化策略研究，解决轨迹突变、路径冗余等问题；第五章通过仿真实验完成算法性能对比与有效性验证；第六章总结全文研究成果，并展望后续研究方向。
2 2DOF机械臂路径规划理论基础
2.1 2DOF机械臂结构与运动特性
2DOF机械臂为典型的二自由度串联连杆结构，主要由基座、第一关节、第二关节、两根连杆及末端执行机构组成，两个关节均为旋转自由度，可实现平面内的任意点位运动。相较于三自由度及以上机械臂，2DOF机械臂结构极简，无冗余自由度，运动耦合关系简单，作业空间为规则平面区域，不存在复杂的空间姿态变换问题，是平面作业场景的最优结构选型。
在运动特性方面，2DOF机械臂的末端点位完全由两个关节的旋转角度决定，运动约束条件清晰，主要包括关节转角极限、连杆运动范围、末端运动速度与加速度约束。其运动短板较为突出，一是作业维度单一，仅能完成平面运动，空间适配性有限；二是存在运动奇异点位，在特定姿态下会出现运动失控、受力突变的问题；三是低自由度特性导致路径容错率低，微小的轨迹偏差极易引发末端定位误差，对路径的平滑性与精准度要求更为严苛。
2.2 路径规划核心定义与分类
机械臂路径规划是指在已知或未知作业环境中，根据作业任务要求，在满足设备运动约束、环境避障约束的前提下，搜索一条从起始姿态到目标姿态的无碰撞、最优或次优运动路径，并生成连续平滑的运动轨迹的过程。对于2DOF平面机械臂，路径规划可分为任务空间规划与关节空间规划两类核心形式。
任务空间规划直接基于机械臂末端笛卡尔坐标开展路径搜索，规划结果直观贴合作业需求，能够精准控制末端运动轨迹，适用于对末端路径形态有明确要求的场景，如直线搬运、曲线轨迹作业等。但该方式需要完成坐标与关节角度的实时转换，存在一定的运算延迟，且容易受运动奇异点影响。
关节空间规划以机械臂两个关节的转角变化为规划对象，直接生成关节运动序列，运算量小、实时性强，运动稳定性高，能够有效规避奇异点问题。其短板在于无法直接控制末端轨迹形态，仅能保障起始与目标点位的精度，适用于点对点简易定位作业。
按照环境特性划分，路径规划又可分为静态路径规划与动态路径规划。静态规划针对障碍物位置固定的稳态作业环境，提前完成全局路径搜索，规划效率高、轨迹稳定性好；动态规划针对障碍物随机移动的动态环境，需要实时感知环境变化并完成路径重规划，对算法实时性与自适应能力要求更高。
2.3 路径规划评价指标
为量化评估不同规划算法的性能，结合2DOF机械臂的作业特性，确定核心评价指标，全程以性能表现为核心，无公式计算：
一是安全性，核心指标为避障成功率，即规划路径是否能够完全规避作业环境内的障碍物，无碰撞、无近距离剐蹭，保障设备运行安全；二是平顺性，通过轨迹连续性、运动冲击程度判定，优质路径无轨迹突变、无速度跳变，关节运动平稳，无明显抖动与启停冲击；三是高效性，以路径简洁度、规划耗时、运动耗时为评价依据，最优路径无冗余轨迹，算法收敛速度快，机械臂作业耗时短；四是精准性，即末端实际运动点位与目标点位的偏差大小，保障作业定位精度；五是适应性，指算法对不同作业环境、不同起止点位的适配能力与动态调整能力。
3 2DOF机械臂主流路径规划算法分析
3.1 插值类轨迹规划算法
插值类算法是2DOF机械臂最基础、应用最广泛的轨迹规划方法，核心原理是根据机械臂起始点位、目标点位及中间途经点位，通过插值拟合生成连续的运动轨迹，主要包括多项式插值、梯形插值、S型插值等类型。该类算法属于确定性规划方法，逻辑简单、运算量极小、实时性极强，能够严格保障轨迹的连续性，完美适配2DOF机械臂轻量化控制的需求。
其中，低阶多项式插值算法结构简洁，能够实现基础的轨迹平滑过渡，适用于低速、低精度的简易点位作业；高阶多项式插值可进一步优化速度与加速度的连续性，大幅降低运动冲击，提升轨迹平顺性，是精密定位场景的优选方法。梯形插值与S型插值主要针对速度轨迹优化，能够有效改善机械臂启停阶段的速度突变问题，减少关节振动。
插值类算法的核心短板为无自主避障能力，仅能按照预设点位生成轨迹，完全依赖人工路径预设，无法适配存在障碍物的复杂环境与动态作业场景，环境适应性极差，仅适用于无障碍、固定工况的标准化作业场景。
3.2 启发式搜索规划算法
启发式搜索算法以A*算法、Dijkstra算法为核心代表，属于全局静态路径规划算法，适用于已知全局环境信息的2DOF机械臂避障规划场景。该类算法通过构建环境栅格地图，基于启发式代价函数搜索全局最优无碰撞路径，能够保障规划路径的最短性与最优性，路径规则简洁、无冗余拐点，适配平面机械臂的作业空间特性。
Dijkstra算法能够遍历搜索全局可行路径，规划结果精准、无局部最优问题，但搜索过程遍历性强，运算耗时较长，实时性不足，不适用于动态场景；A*算法在其基础上引入启发式权重，大幅提升搜索收敛速度，兼顾了规划精度与运算效率，是静态避障场景下2DOF机械臂的主流规划算法。
此类算法的局限性主要体现在环境依赖性强，需要提前构建精准的环境栅格模型，无法适配未知动态环境；同时栅格地图分辨率直接影响规划精度，高分辨率地图运算成本大幅提升，低分辨率地图易出现路径精度不足的问题，在小型精密2DOF机械臂作业中存在一定适配短板。
3.3 随机采样规划算法
随机采样类算法以RRT、RRT*算法为核心，是适配复杂环境与未知环境的概率性路径规划算法，无需对作业环境进行精准建模，通过随机采样探索可行运动空间，快速搜索无碰撞路径。该类算法无需复杂的环境预处理流程，能够快速适配不规则障碍环境，通用性极强，突破了传统算法对环境模型的依赖。
基础RRT算法搜索速度快、实时性强，能够快速生成可行路径，适用于动态障碍场景的快速重规划；RRT*算法在其基础上优化了路径筛选与节点优化逻辑，能够实现路径的渐进最优，大幅减少轨迹冗余，提升路径平顺性，更适配2DOF机械臂的精密作业需求。
针对2DOF机械臂的平面运动特性，随机采样算法能够有效规避各类平面障碍物，适配多变作业点位，但原生算法存在采样随机性强、路径拐点较多、轨迹平滑度不足的问题，容易导致机械臂运动抖动，需要搭配轨迹优化策略使用，无法直接满足高精度平顺作业需求。
3.4 智能优化规划算法
智能优化算法主要包括粒子群算法、遗传算法、动态运动基元算法等，属于新型全局优化规划方法，核心优势是具备极强的自适应优化能力，能够结合多重约束条件优化路径性能。该类算法可综合路径长度、运动平顺性、避障安全性、作业耗时等多重指标，实现多目标最优路径规划，适配复杂约束下的2DOF机械臂作业场景。
粒子群算法迭代速度快、优化效率高，能够快速完成路径全局优化，有效消除轨迹冗余与突变问题；遗传算法全局搜索能力强，不易陷入局部最优，适配多约束复杂工况；动态运动基元算法可通过模仿学习优化轨迹形态，生成贴合机械臂运动特性的平滑轨迹，运动适配性极佳。
智能算法的主要短板为运算复杂度高、迭代耗时久，硬件算力需求高，对于轻量化2DOF机械臂的嵌入式控制场景适配性较差，存在实时性不足的问题，多用于离线路径优化与复杂工况规划，难以满足高速动态实时作业需求。
3.5 各类算法综合性能对比
综合上述各类算法的原理与特性，结合2DOF机械臂结构简单、算力有限、侧重平面平顺作业的核心需求，各类算法适配场景差异显著。插值类算法适用于无障碍固定工况，优势是平顺高效、成本极低；启发式搜索算法适用于静态已知障碍场景，优势是路径最优、精度高；随机采样算法适用于未知、动态障碍场景，优势是通用性强、响应快；智能优化算法适用于多约束复杂高精度场景，优势是综合性能最优，但算力成本最高。各类算法均存在固有短板，无通用型最优方案，需根据实际作业场景针对性选型与优化。
4 2DOF机械臂路径规划优化策略研究
4.1 轨迹平滑优化策略
针对随机采样算法、搜索算法规划路径存在拐点突变、轨迹不连续的问题，结合2DOF机械臂低容错的运动特性，开展轨迹平滑优化研究。原生规划路径多由多段折线组成，拐点处存在速度与姿态突变，极易引发机械臂关节抖动与定位偏差。本文采用分段插值拟合优化策略，对原始路径的拐点、折线段进行平滑重构，剔除冗余路径节点，保留核心路径特征点位，通过连续轨迹替代离散折线轨迹。
优化过程中严格贴合2DOF机械臂的关节运动约束，控制轨迹过渡过程的速度与加速度变化幅度，避免出现运动超限问题。优化后轨迹全程连续无突变，有效解决了传统规划路径平顺性差的问题，大幅降低机械臂运动冲击与设备损耗，适配精密平稳作业需求。同时该优化策略轻量化极强，运算量极低，不会增加嵌入式控制设备的算力负担，适配小型2DOF机械臂的硬件特性。
4.2 采样算法轻量化优化策略
针对传统RRT*算法采样随机性强、收敛速度慢、路径冗余度高的问题，结合2DOF平面作业场景，采用偏置采样与自适应步长优化策略。摒弃完全随机的采样方式，以目标点位为导向进行偏置采样，减少无效采样次数，大幅提升算法收敛速度；同时根据作业空间障碍物分布密度，自适应调整采样步长，无障碍区域采用大步长快速探索，障碍密集区域采用小步长精准避障，兼顾规划效率与避障精度。
优化后的算法有效规避了原生算法的盲目采样问题，减少冗余路径节点，缩短规划耗时，同时保留了随机采样算法的强通用性与动态适配能力，完美适配2DOF机械臂轻量化、实时性的作业需求，解决了传统采样算法平顺性差、效率低的核心短板。
4.3 多场景自适应规划策略
针对单一算法无法适配多工况作业的问题，构建场景自适应规划策略，实现不同工况下的算法智能切换。针对无障碍标准化定点作业场景，优先采用高阶插值规划算法，保障轨迹平顺性与作业效率；针对静态已知障碍场景，采用优化后的A*算法，实现全局最优避障路径规划；针对动态未知障碍场景，采用轻量化优化RRT*算法，保障实时避障与快速重规划能力；针对高精度多约束复杂场景，采用轻量化智能优化算法，实现多目标最优规划。
该自适应策略结合各类算法的优势，规避单一算法的局限性，无需人工切换规划模式，可根据环境障碍状态、作业精度需求自动匹配最优规划方案，大幅提升2DOF机械臂的柔性作业能力，适配多样化轻型自动化作业场景。
5 仿真实验与结果分析
5.1 仿真实验环境与方案设计
为验证各类规划算法及优化策略的有效性，搭建2DOF机械臂平面作业仿真环境，模拟无障碍静态场景、静态障碍场景、动态障碍场景三类典型工况，选取规划耗时、路径平顺性、避障成功率、定位精度四项核心指标，对原始算法与优化算法进行对比测试。仿真环境贴合实际小型机械臂作业参数，严格匹配关节运动约束与平面作业空间，保障实验结果的真实性与有效性。
实验分为三组开展：第一组测试基础算法性能，对比插值算法、A*算法、RRT*算法、粒子群算法的基础作业性能；第二组测试轨迹平滑优化效果，验证优化策略对路径平顺性的提升作用；第三组测试轻量化改进算法与自适应规划策略的综合性能，验证多场景适配能力。
5.2 基础算法性能对比分析
无障碍场景实验结果表明，插值类算法规划耗时最短、轨迹平顺性最优，无运动抖动，定位精度最高，完全适配简易定点作业；智能优化算法轨迹平顺性与精度次之，但规划耗时较长，实时性不足；采样算法与搜索算法存在少量轨迹拐点，平顺性略差，且存在一定的路径冗余。
静态障碍场景实验中，A*算法避障成功率100%，路径最优无冗余，综合性能最优；RRT*算法避障成功率较高，但路径拐点多、平顺性差；智能算法避障精度高，但运算耗时久；插值算法无避障能力，无法适配障碍场景。
动态障碍场景实验中，RRT*算法实时性最优，可快速完成路径重规划，适配动态障碍变化；A*算法全局规划特性导致动态适配能力差，无法实时调整路径；智能算法迭代耗时久，动态响应滞后；插值算法完全无法适配动态场景。
5.3 优化算法性能验证分析
轨迹平滑优化实验结果显示，经过分段插值拟合优化后的路径，完全消除了原始算法的拐点突变问题，轨迹连续性大幅提升，机械臂模拟运动过程中无抖动、无冲击，运动平顺性显著改善，同时定位精度无损耗，完全保留原始路径的避障安全性与最优性。
轻量化改进RRT*算法相较于原生算法，采样效率大幅提升，规划耗时缩短显著，路径冗余节点大幅减少，路径更简洁平滑，避障成功率保持100%，兼顾了实时性、安全性与平顺性，完美适配2DOF机械臂动态作业场景。
多场景自适应规划策略测试结果表明，该策略可精准识别作业场景特性，自动匹配最优规划算法，在各类工况下均能输出最优路径，无规划失效、轨迹突变等问题，综合作业性能优于单一固定规划算法，有效提升了2DOF机械臂的工况适配能力与柔性作业水平。
5.4 实验结论总结
综合仿真实验结果可得出结论：无障碍固定工况优先选用高阶插值规划算法，兼顾高效性与平顺性；静态障碍工况适配优化A*算法，实现全局最优避障规划；动态障碍工况适配轻量化改进RRT*算法，保障实时避障与轨迹平顺；多工况交替场景采用自适应规划策略，可实现全场景高效稳定作业。本文提出的轨迹平滑优化、算法轻量化优化及自适应规划策略，能够有效解决传统2DOF机械臂路径规划存在的平顺性差、效率低、适配性弱等问题，显著提升机械臂整体作业性能。
6 总结与展望
6.1 全文总结
本文以2DOF平面机械臂为研究对象，围绕路径规划与轨迹优化核心问题开展系统性研究。首先梳理了2DOF机械臂的结构特性、运动约束及路径规划的核心理论，明确了适配低自由度机械臂的规划评价体系；其次分类深入研究了插值类、启发式搜索类、随机采样类、智能优化类四大主流路径规划算法的工作原理、优势短板及场景适配性，明确了各类算法的适用边界；针对现有规划方案存在的轨迹不平滑、算法冗余、场景适配性差等痛点，提出了轨迹平滑优化、采样算法轻量化优化、多场景自适应规划三类优化策略；最后通过多场景仿真实验验证了基础算法与优化策略的作业性能，明确了不同工况下的最优规划方案。
研究结果表明，传统单一规划算法存在显著的场景局限性，无法适配多样化作业需求，而本文提出的优化策略能够有效弥补原生算法的短板，在保障避障安全与定位精度的前提下，大幅提升路径平顺性与规划效率，适配2DOF机械臂轻量化、高精度、高稳定性的作业需求，有效解决了低自由度机械臂路径规划的核心痛点。
6.2 未来展望
本文研究虽取得一定成果，但仍存在可优化提升的空间，未来可从以下方向开展深入研究：一是结合机器视觉环境感知技术，实现环境实时识别、障碍精准检测与路径全自动重规划，进一步提升机械臂的智能化作业水平；二是针对高速重载作业场景，优化轨迹动态约束机制，兼顾运动速度、平顺性与设备负载稳定性；三是融合多智能算法优势，研发轻量化通用型规划算法，进一步打破单一算法的场景局限性，实现全工况最优规划；四是开展实物平台实验验证，将仿真优化策略落地到实体2DOF机械臂，优化算法的工程适配性与实用性。
📚第二部分——运行结果
主函数部分代码：
clc; clear all; close all; %% creating circular obstacles and plotting in theta space % circ1e 1 [c1, c2,c1_b,c2_b]=circle(-1.625,-0.3,0.25); PLOT_theta(c1,c2,30,-110,180,0); PLOT_theta(c1_b,c2_b,30,-110,180,0); PLOT_theta(c1+360,c2,30,-110,180,0); PLOT_theta(c1_b+360,c2_b,30,-110,180,0); %circle 2 [c3, c4,c3_b,c4_b]=circle(0.75,0,0.125); PLOT_theta(c3,c4,30,-110,180,0); PLOT_theta(c3_b,c4_b,30,-110,180,0); PLOT_theta(c3+360,c4,30,-110,180,0); PLOT_theta(c3_b+360,c4_b,30,-110,180,0); %circle 3 [c5, c6,c5_b,c6_b]=circle(1.125,0,0.125); PLOT_theta(c5,c6,30,-110,180,0); PLOT_theta(c5_b,c6_b,30,-110,180,0); PLOT_theta(c5,c6,30,-110,180,0); PLOT_theta(c5_b,c6_b,30,-110,180,0); square(-1.25,0.625,0.4); %% trajectory in theta space figure(2) axis([-270 270 -135 135]) hold on x=[30 65 230]; y=[ -110 -121 -123 ]; hold on x1=[180 200 230]; y1=[ 0 -55 -123 ]; cs=spline(x, y ); cs1=spline (x1,y1); xx= linspace(30,230,101); xx1= linspace (180,230,101); plot(x,y,'o',xx,ppval(cs,xx),'-'); hold on plot(x1,y1,'o',xx1,ppval(cs1,xx1),'-'); %% trajectory in cartesian space robot(); %% getting the characterstics equation describing the position velocity and accleration of each joint theta1_i=30; theta1_f= 180; vel1_i=0; vel1_f=0; acc1_f=0; acc1_i=0; t_i=0; t_f=4; time= t_i:t_f; theta2_i=-110; theta2_f=0; vel2_i=0; vel2_f=0; acc2_f=0; acc2_i=0; k1=[theta1_i theta1_f vel1_i vel1_f acc1_i acc1_f]'; mat=[1 t_i t_i^2 t_i^3 t_i^4 t_i^5 ;... 1 t_f t_f^2 t_f^3 t_f^4 t_f^5 ;... 0 1 2*t_i 3*t_i^2 4*t_i^3 5*t_i^4;... 0 1 2*t_f 3*t_f^2 4*t_f^3 5*t_f^4;... 0 0 2 6*t_i 12*t_i^2 20*t_i^3;... 0 0 2 6*t_f 12*t_f^2 20*t_f^3]; coff1=(mat)\k1; k2=[theta2_i theta2_f vel2_i vel2_f acc2_i acc2_f]'; mat=[1 t_i t_i^2 t_i^3 t_i^4 t_i^5 ;... 1 t_f t_f^2 t_f^3 t_f^4 t_f^5 ;... 0 1 2*t_i 3*t_i^2 4*t_i^3 5*t_i^4;... 0 1 2*t_f 3*t_f^2 4*t_f^3 5*t_f^4;... 0 0 2 6*t_i 12*t_i^2 20*t_i^3;... 0 0 2 6*t_f 12*t_f^2 20*t_f^3]; coff2=(mat)\k2; r=fliplr(coff1'); coff1=r'; q=fliplr(coff2'); coff2=q'; % position, velocity and accleration equations syms t; theta1=poly2sym(coff1,t); theta2=poly2sym(coff2,t); vel1=diff(theta1); vel2=diff(theta2); acc1=diff(vel1); acc2=diff(vel2);🎉第三部分——参考文献
文章中一些内容引自网络，会注明出处或引用为参考文献，难免有未尽之处，如有不妥，请随时联系删除。(文章内容仅供参考，具体效果以运行结果为准)
[1]葛超,张鑫源,王红,等.改进Informed-RRT*算法的移动机器人路径规划[J/OL].电光与控制:1-11[2024-09-26].http://kns.cnki.net/kcms/detail/41.1227.TN.20240925.1741.002.html.
[2]王一诺,郑焕祺,张根成,等.基于ICOA算法的三维无人机路径规划[J/OL].软件导刊:1-9[2024-09-26].http://kns.cnki.net/kcms/detail/42.1671.TP.20240924.1314.040.html.
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