1 弱拓扑与弱收敛
定义 1.1（弱拓扑）
设EEE为赋范线性空间，E∗E^*E∗为其连续对偶。弱拓扑σ(E,E∗)\sigma(E,E^*)σ(E,E∗)是使得所有f∈E∗f\in E^*f∈E∗都连续的最弱拓扑。 等价地：在点x0x_0x0的一组弱邻域基可取为
U(x0;f1,…,fm,ε)={ x∈E: ∣fi(x−x0)∣<ε, i=1,…,m}. U(x_0; f_1,\dots,f_m,\varepsilon) =\{x\in E:\ |f_i(x-x_0)|<\varepsilon,\ i=1,\dots,m\}.U(x0;f1,…,fm,ε)={x∈E: ∣fi(x−x0)∣<ε, i=1,…,m}.
定义 1.2（弱收敛）
称xnx_nxn在弱拓扑下收敛到xxx（记为xn⇀xx_n\rightharpoonup xxn⇀x），若对任意弱邻域UUU（关于xxx）存在NNN使得n≥Nn\ge Nn≥N时xn∈Ux_n\in Uxn∈U。
命题 1.1（弱收敛的泛函刻画）
xn⇀x⟺∀f∈E∗, f(xn)→f(x). x_n\rightharpoonup x \quad\Longleftrightarrow\quad \forall f\in E^*,\ f(x_n)\to f(x).xn⇀x⟺∀f∈E∗, f(xn)→f(x).
证明：由定义 1.1 的邻域基，收敛等价于对任意有限个f1,…,fmf_1,\dots,f_mf1,…,fm同时满足
∣fi(xn−x)∣→0(i=1,…,m), |f_i(x_n-x)|\to 0\quad (i=1,\dots,m),∣fi(xn−x)∣→0(i=1,…,m),
进而等价于对每个f∈E∗f\in E^*f∈E∗都有f(xn)→f(x)f(x_n)\to f(x)f(xn)→f(x)。□\square□
命题 1.2（强收敛推出弱收敛）
若∥xn−x∥→0\|x_n-x\|\to 0∥xn−x∥→0，则xn⇀xx_n\rightharpoonup xxn⇀x。
证明：任取f∈E∗f\in E^*f∈E∗，
∣f(xn)−f(x)∣=∣f(xn−x)∣≤∥f∥ ∥xn−x∥→0. |f(x_n)-f(x)|=|f(x_n-x)|\le \|f\|\,\|x_n-x\|\to 0.∣f(xn)−f(x)∣=∣f(xn−x)∣≤∥f∥∥xn−x∥→0.
□\square□
例题 1.1（ℓ2\ell^2ℓ2中en⇀0e_n\rightharpoonup 0en⇀0但不强收敛）
在E=ℓ2E=\ell^2E=ℓ2中令ene_nen为标准基。证明en⇀0e_n\rightharpoonup 0en⇀0，且∥en∥↛0\|e_n\|\not\to 0∥en∥→0。
解：因(ℓ2)∗≅ℓ2(\ell^2)^*\cong \ell^2(ℓ2)
