代数几何码：理论、实例与渐近界
1. 代数几何码基础
在代数几何码的研究中，我们从一个关键的条件出发：当 $\text{deg}(D - P_1 - \cdots - P_n) < 0$ 时，根据定理 13.4.1(i)，可知 $L(D - P_1 - \cdots - P_n) = {0}$。这表明 $f = 0$，进而说明评估映射 $\text{ev}_P$ 的核是平凡的。由此我们可以得出 $k = \text{deg}(D) + 1 - g$。同时，定理中所给的矩阵就是码 $C(X, P, D)$ 的生成矩阵。
假设 $\text{ev}P(f)$ 的最小非零重量为 $d$，那么对于某组 $n - d$ 个不同的指标 ${i_j | 1 \leq j \leq n - d}$，有 $f(P{i_j}) = 0$。此时，$f \in L(D - P_{i_1} - \cdots - P_{i_{n - d}})$。因为 $f \neq 0$，根据定理 13.4.1(i) 可得 $\text{deg}(D - P_{i_1} - \cdots - P_{i_{n - d}}) \geq 0$，即 $\text{deg}(D) - (n - d) \geq 0$，所以 $d \geq n - \text{deg}(D)$。
2. 里德 - 所罗门码作为代数几何码
我们以射影平面曲线 $X$（由 $z = 0$ 定义在 $\mathbb{F}q$ 上）为例，来证明狭义和扩展狭义里德 - 所罗门码实际上是代数几何码。曲线上的点形式为 $(x : y : 0)$，本质上构成了射影直线。设 $P{\inft
