Kerdock与Preparata码：理论与应用解析
1. Kerdock码基础
Kerdock码是一类重要的纠错码，下面我们逐步深入了解其相关内容。
-定义相关概念
- 设(\nu_2)是(GR(4r))的Frobenius自同构，(TR_r)是相对迹映射。有以下性质：
- (\nu_2^r)是恒等自同构。
- (\nu_2(TR_r(\alpha)) = TR_r(\alpha))，这表明(TR_r(\alpha))是(\mathbb{Z}_4)中的元素。
- 对于所有(\alpha,\beta\in GR(4r))，(TR_r(\alpha + \beta) = TR_r(\alpha) + TR_r(\beta))。
- 对于所有(a\in\mathbb{Z}_4)和(\alpha\in GR(4r))，(TR_r(a\alpha) = aTR_r(\alpha))。
- 设(H(x))是(r)次的本原基本不可约多项式，(f(x))是(\frac{x^n - 1}{(x - 1)H(x)})的互反多项式（其中(n = 2^r - 1)）。定义(K(r + 1))为(\mathbb{Z}_4)上由(f(x))生成的长度为(2^r - 1)的循环码，其类型为(4^{n - \text{deg} f}=4^{r + 1})。
- (\widetilde{K}(r + 1))是通过给(K(r + 1))添加整体奇偶校验得到的扩展循环码，长度为(2^r)，类型为(4^{r + 1})。Kerdock码(K(r + 1))定义为(\widetilde{K}(r + 1))的Gray图像(G(\wideti
