3.3 系统状态空间表达
磁悬浮轴承-转子系统的精确数学模型是进行控制器设计、性能分析和系统仿真的基石。在3.1节和3.2节建立的动力学微分方程基础上，将其转化为状态空间模型，是应用现代控制理论（如线性二次型调节器、H∞H_\inftyH∞控制、模型预测控制等）的关键步骤。状态空间表达法以一组一阶微分方程来描述系统，将系统的内部状态（如位移、速度、模态坐标等）与外部输入（控制力、扰动）和输出（传感器测量）清晰地联系起来，为分析和设计多输入多输出的复杂系统提供了强有力的统一框架。本节将详细阐述如何将磁悬浮轴承-转子系统的动力学方程转化为标准状态空间形式，并探讨其在系统分析、控制器设计和降阶中的应用。
3.3.1 从动力学方程到状态空间模型
3.3.1.1 基本动力学方程回顾
对于一个由有限元法离散化或集中参数法描述的转子系统，其动力学通常可由一组二阶微分方程表示：
Mq¨(t)+(C+ΩG)q˙(t)+Kq(t)=Buu(t)+Bdw(t) \mathbf{M} \ddot{\mathbf{q}}(t) + (\mathbf{C} + \Omega \mathbf{G}) \dot{\mathbf{q}}(t) + \mathbf{K} \mathbf{q}(t) = \mathbf{B}_u \mathbf{u}(t) + \mathbf{B}_d \mathbf{w}(t)Mq¨(t)+(C+ΩG)q˙(t)+Kq(t)=Buu(t)+Bdw(t)
其中：
- q(t)∈Rn\mathbf{q}(t) \in \mathbb{R}^nq(t)∈Rn是广义位移坐标向量（例如，各节点的横向位移）。
- M\mathbf{M}M，C\mathbf{C}C，G\mathbf{G}G，K\mathbf{K}K分别是质量、阻尼、陀螺和刚度矩阵，维度为n×nn \times nn×n。
- Ω\OmegaΩ是转子旋转角速度。
- u(t)∈Rm\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^{m}u(t)∈Rm是控制输入向量（mmm个磁轴承作动器的力）。
- w(t)∈Rp\mathbf{w}(t) \in \mathbb{R}^{p}w(t)∈Rp是外部扰动向量（如不平衡力、基础振动）。
- Bu\mathbf{B}_uBu和Bd\mathbf{B}_dBd是相应的输入和扰动分布矩阵。
3.3.1.2 状态变量定义与方程转化
为将其转化为一阶形式，定义状态向量x(t)∈R2n\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^{2n}x(t)∈R2n。通常有两种选择：
- 物理状态向量：x(t)=[q(t)q˙(t)]\mathbf{x}(t) = \begin{bmatrix} \mathbf{q}(t) \\ \dot{\mathbf{q}}(t) \end{bmatrix}x(t)=[q(t)q˙(t)]。其物理意义明确，直接对应物理位置和速度。
- 模态状态向量： 当使用模态坐标η(t)\boldsymbol{\eta}(t)η(t)时，x(t)=[η(t)η˙(t)]\mathbf{x}(t) = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\eta}(t) \\ \dot{\boldsymbol{\eta}}(t) \end{bmatrix}x(t)=[η(t)η˙(t)]。这对于基于模态的控制设计更为方便。
这里以物理状态为例。对原方程进行变换，令x1=q\mathbf{x}_1 = \mathbf{q}x1=q，x2=q˙\mathbf{x}_2 = \dot{\mathbf{q}}x2=q˙， 则有x˙1=x2\dot{\mathbf{x}}_1 = \mathbf{x}_2x˙1=
