线性代数-3Blue1Brown《线性代数的本质》逆矩阵、列空间、秩与零空间（8）

数学基础-线性代数-学习系列

本文是3B1B 《线性代数的本质》系列视频之 逆矩阵、列空间、秩与零空间 的学习笔记，通过线性变换了解 逆矩阵、列空间、秩与零空间的概念。

• 线性方程组
• 逆矩阵
• 列空间
• 秩
• 零空间

1、线性方程组

1.1 什么是线程方程组

一个线性方程组是由多个关于变量的一次方程组成的系统，如：
{ 2 x + 3 y = 7 4 x − y = 1 \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - y = 1 \end{cases}{2x+3y=74x−y=1​
这个方程组包含两个方程、两个未知数（x , y x, yx,y），目标是找到一组值( x , y ) (x, y)(x,y)同时满足所有方程。

1.2 将线性方程组写成矩阵形式

线性方程组写为 矩阵乘法的形式：
A x ⃗ = b ⃗ A\vec{x} = \vec{b}Ax=b

其中：

• A AA是系数矩阵
• x ⃗ \vec{x}x是未知数向量
• b ⃗ \vec{b}b是常数项向量

即：
A = [ 2 3 4 − 1 ] , x ⃗ = [ x y ] , b ⃗ = [ 7 1 ] A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix},\quad \vec{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix},\quad \vec{b} = \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \end{bmatrix}A=[24​3−1​],x=[xy​],b=[71​]

[ 2 3 4 − 1 ] [ x y ] = [ 7 1 ] \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 7 \\ 1 \end{bmatrix}[24​3−1​][xy​]=[71​]

考虑：
{ x + 2 y + 3 z = 6 2 x − z = 1 y + 4 z = 5 \begin{cases} x + 2y + 3z = 6 \\ 2x - z = 1 \\ y + 4z = 5 \end{cases}⎩⎨⎧​x+2y+3z=62x−z=1y+4z=5​

再举一个三元方程组的例子，提取系数，得到矩阵形式：

[ 1 2 3 2 0 − 1 0 1 4 ] [ x y z ] = [ 6 1 5 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 6 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix}​120​201​3−14​​​xyz​​=​615​​

1.3 矩阵表示的含义

一个矩阵代表一种对空间的线性变换。
比如A x ⃗ = b ⃗ A\vec{x} = \vec{b}Ax=b的意义是： 是否存在一个输入向量x ⃗ \vec{x}x，使得变换后正好等于b ⃗ \vec{b}b
这也是A x ⃗ = b ⃗ A\vec{x} = \vec{b}Ax=b的几何意义。

2、逆矩阵

2.1 什么是逆矩阵

给定一个线性变换A AA，如果存在另一个变换A − 1 A^{-1}A−1，使得：
A − 1 A = I （单位矩阵） A^{-1}A = I \quad \text{（单位矩阵）}A−1A=I（单位矩阵）
那么A − 1 A^{-1}A−1就是A AA的逆矩阵。从几何上看，这意味着：先对空间进行A AA变换，再进行A − 1 A^{-1}A−1变换，空间会回到原始状态。

2.2 逆矩阵存在的条件

逆变换存在，等价于变换A AA没有压缩空间。只有那些不把空间压缩到更低维度的变换，才可能有逆。

在二维中，若一个 2×2 矩阵压缩成一条直线或一个点，信息丢失，逆矩阵不存在。

因此，只有当变换保持空间维度不变时，才可能可逆。

2.3 不可逆的情况

当一个矩阵的行列式为0时，表示该变换将空间压缩到了更低的维度。此时，矩阵没有逆矩阵。
例如：
A = [ 1 2 2 4 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}A=[12​24​]
两列线性相关，变换后所有向量都落在一条直线上 → 行列式为0 → 不可逆。

3、列空间

矩阵 A 对空间中所有可能的向量进行变换，得到的所有输出向量的集合，构成了一个非常重要的空间，称为 列空间。列空间就是矩阵的列向量所张成的空间

列空间是变换后能“到达”的所有点的集合。比如在二维中：

• 如果变换把二维空间压缩到一条通过原点的直线上，那么这条直线就是列空间。
• 如果变换保持了二维性，那么整个平面就是列空间

4、秩

4.1 秩的理解

矩阵的秩是其列空间的维度。

• 秩 = 0：意味着变换将空间压缩到原点
• 秩 = 1：意味着变换将空间压缩到一条直线上
• 秩 = 2：意味着变换保持了一个二维平面

4.2 关于满秩

• 对于n × n n\times nn×n方阵，若秩为n nn，称为满秩
• 满秩 ⇔ 行列式 ≠ 0 ⇔ 矩阵可逆
• 满秩是可逆性的代数判断标准

5、零空间

矩阵A AA的零空间是所有满足：
A x ⃗ = 0 ⃗ A\vec{x} = \vec{0}Ax=0
的向量x ⃗ \vec{x}x构成的集合。

零空间中的向量，在经过变换A AA后，全部被映射到原点。

• 这些向量是“被压缩掉的信息”。
• 如果零空间中只有零向量，说明没有非零向量被压缩 → 变换是“保信息”的 → 可逆。
• 如果零空间包含非零向量，说明有多个输入映射到同一个输出 → 不可逆。

满秩变换：只有零向量自身变换后会落在原点。它的零空间只有一个点（零向量）
非满秩变换：例如一个将平面压缩到直线的变换。除了零向量，还有一整个方向上的所有向量，会被压缩到原点。

6、总结