sigmoid 函数与 logit 函数互为反函数 - 为什么 对数与指数互为逆运算（1）

sigmoid 函数与 logit 函数互为反函数 - 为什么 对数与指数互为逆运算（1）

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1. 指数运算相关术语

对于乘方运算：
ab=N\boldsymbol{a^b = N}ab=N
底数：aaa是乘方运算的底数，即被重复相乘的数；
指数：bbb是指数，表示底数相乘的次数（扩展到实数域后表示幂次）；
幂：运算结果NNN叫做底数aaa的bbb次幂。

例：23=82^3 = 823=8中，2是底数，3是指数，8是2的3次幂。

2. 对数运算相关术语

对数是指数的逆运算，定义为：
若ab=Na^b = Nab=N（a>0a>0a>0且a≠1a\neq1a=1，N>0N>0N>0），则bbb叫做以aaa为底NNN的对数，记作：
log⁡aN=b\boldsymbol{\log_a N = b}loga​N=b
底数：aaa是对数的底数，对应指数运算的底数；
真数：NNN是真数，对应指数运算的幂（运算结果），真数必须大于0；
对数：bbb就是对数的值，本质就是指数运算里的指数。

例：log⁡28=3\log_2 8 = 3log2​8=3中，2是底数，8是真数，3是对数；对应指数式23=82^3=823=8。

特别地，以自然常数eee为底的对数称为自然对数，记作ln⁡(N)\ln(N)ln(N)，即ln⁡(N)=log⁡eN\ln(N) = \log_e Nln(N)=loge​N。

3. 对数与指数互为逆运算的推导

逆运算的核心是：两种运算先后作用于同一个数，结果等于原数。我们从定义出发严格推导：

（1）指数套对数：alog⁡aN=N\boldsymbol{a^{\log_a N} = N}aloga​N=N

设b=log⁡aNb = \log_a Nb=loga​N，根据对数的定义，它对应的指数式为：
ab=Na^b = Nab=N
将b=log⁡aNb = \log_a Nb=loga​N代入上式，直接得到：
alog⁡aN=Na^{\log_a N} = Naloga​N=N

含义：先对NNN取以aaa为底的对数，再取aaa的这么多次方，结果回到原数NNN。

（2）对数套指数：log⁡a(ab)=b\boldsymbol{\log_a (a^b) = b}loga​(ab)=b

对于指数式ab=Na^b = Nab=N，根据对数的定义，写成对数式为：
log⁡aN=b\log_a N = bloga​N=b
将N=abN = a^bN=ab代入上式，直接得到：
log⁡a(ab)=b\log_a (a^b) = bloga​(ab)=b

含义：先取aaa的bbb次方，再对结果取以aaa为底的对数，结果回到原指数bbb。

相同底数下，指数运算和对数运算互为逆运算，先后作用会相互抵消。