数字滤波器分析---频率响应
幅值、相位、冲激和阶跃响应、相位和群延迟、零极点分析。
分析滤波器的频域和时域响应。可视化复平面中的滤波器极点和零点。
幅频响应 & 相位响应
这两个合起来叫频率响应，描述线性系统对不同频率正弦输入的稳态作用。
幅频响应（Magnitude Response）
输入正弦信号，经过系统之后：输出振幅 ÷ 输入振幅，随频率变化的函数。
- 反映：系统对不同频率分量的放大 / 衰减能力
- 通俗理解：
- 幅频值 > 1：该频率被放大
- 幅频值 < 1：该频率被衰减（滤波）
- 例子：低通滤波器，低频幅频接近 1，高频幅频下降 → 滤掉高频。
只关心信号大小变了多少，不关心时间上是否错开。
相位响应（Phase Response）
输入正弦信号，经过系统之后：输出相位 − 输入相位，随频率变化的函数。单位：弧度 / 度。
- 反映：系统对不同频率分量引入的时间延迟（相位偏移）
- 通俗理解： 正弦波经过系统，波形会在横轴（时间轴）左右移动，这个移动量就是相位。
- 关键点： 相位线性变化 →群时延恒定，波形不会失真； 相位非线性 → 不同频率延时不一样，波形会发生相位失真（波形形状扭曲，但频谱各分量幅度不变）。
一句话总结
- 幅频响应：管大小，决定哪些频率保留 / 削弱（幅度失真）
- 相位响应：管时间偏移，决定各个频率分量先后到达的时间（相位失真）
补充区分两种失真：
- 幅度失真：幅频不平，不同频率放大倍数不一样；
- 相位失真：相位非线性，不同频率延迟不一样； 二者都不会产生新的频率成分（线性系统）。
群时延（Group Delay）
定义
群时延：相位响应对频率取负导数
\(\tau_g(\omega) = -\frac{d\varphi(\omega)}{d\omega}\)
- \(\varphi(\omega)\)：相位响应（rad）
- \(\omega\)：角频率（rad/s）
- \(\tau_g\)：群时延（s）
物理含义：信号包络的传输延迟，不是载波相位的延迟。
直观理解
一个调幅信号（比如：载波 + 调制包络），可以看成一群靠得很近的频率分量叠加在一起。
- 相位响应：描述单个正弦载波本身的相位偏移（载波延迟）
- 群时延：描述这一组频率合起来形成的信号包络跑了多久（包络延迟）
举例子：语音、脉冲、调制信号，我们关心的是波形包络什么时候到达，所以看群时延。
两种情况
- 相位响应是频率的线性函数
\(\varphi(\omega)=-\tau_0\cdot\omega\) 求导得到：\(\tau_g=\tau_0=\text{常数}\) ✅ 所有频率分量的群时延相同 →无相位失真，包络形状不变，只是整体延后一段时间。
- 相位响应不是线性\(\varphi(\omega)\)曲线弯曲，不同频率斜率不一样 → \(\tau_g\)随频率变化 ❌ 不同频率分量包络延迟不一样 →色散 / 相位失真，包络被展宽、变形。
注意：相位失真不会产生新频率，只是原有各频率分量错开时间。
相位时延（补充对比，容易混淆）
相位时延：
\(\tau_p = -\frac{\varphi(\omega)}{\omega}\)
相位时延：单个正弦载波本身的延迟，只对单频正弦有意义。
- 单频正弦：群时延 = 相位时延
- 宽带信号（脉冲、音频）：二者不相等，工程上优先看群时延
一句话区分
- 幅频响应：各频率幅度放大 / 衰减
- 相位响应：各频率相位偏移量
- 群时延：相位曲线的负斜率，代表信号包络的延迟；群时延平坦 = 包络不失真
工程场景
- 音频：人耳对相位失真不敏感，对幅频失真敏感；
- 高速数字信号、雷达脉冲、通信基带：群时延非常关键，群时延波动会造成脉冲展宽、码间干扰、波形畸变。
小考点：线性相位 FIR 滤波器，相位\(\varphi(\omega)=-\omega\cdot N/2\)，群时延恒定\(N/2\)个采样点，所以不会产生相位失真，这也是 FIR 的一大优势。
频率响应
数字域
freqz 使用基于 FFT 的算法来计算数字滤波器的 Z 变换频率响应。具体来说，语句
[h,w] = freqz(b,a,p)返回数字滤波器的包含p个点的复频率响应 H(ejω)。
在其最简单的形式中，freqz接受滤波器系数向量b和a以及整数p（该整数指定计算频率响应所用的点的数量）。freqz以弧度/秒为单位返回向量h中的复频率响应，以及向量w中的实际频率点。
freqz可以接受其他参数，例如采样频率或由任意数量的频率点构成的向量。以下示例求 12 阶切比雪夫 I 型滤波器的 256 点频率响应。调用freqz将采样频率fs指定为 1000 Hz：
[b,a] = cheby1(12,0.5,200/500); [h,f] = freqz(b,a,256,1000);由于参数列表包含采样频率，因此freqz返回向量f，其中包含在频率响应计算中使用的 0 到fs/2之间的 256 个频率点。
注意
此工具箱使用单位频率是奈奎斯特频率的约定，定义为采样频率的一半。所有基本滤波器设计函数的截止频率参数均用奈奎斯特频率进行归一化处理。例如，对于采样频率为 1000 Hz 的系统，300 Hz 等于 300/500 = 0.6。要将归一化频率转换为围绕单位圆的角频率，请乘以 π。要将归一化频转换回赫兹，请乘以采样频率的一半。
如果您在不带输出参数的情况下调用freqz，它会同时绘制幅值对频率的图和相位对频率的图。例如，截止频率为 400 Hz、基于 2000 Hz 的采样频率的九阶巴特沃斯低通滤波器是：
[b,a] = butter(9,400/1000);要计算此滤波器的 256 点复频率响应，并使用freqz绘制幅值和相位，请使用
freqz(b,a,256,2000)freqz也可以接受由任意数量的频率点构成的向量，以用于频率响应计算。例如，
w = linspace(0,pi); h = freqz(b,a,w);计算由向量b和a定义的滤波器在w的频率点处的复频率响应。频率点可以是 0 到 2π 范围内的值。要指定从零到采样频率的频率向量，请在参数列表中同时包括频率向量和采样频率值。
下列示例说明如何计算和显示数字频率响应。
传递函数的频率响应
计算并显示由以下传递函数描述的三阶 IIR 低通滤波器的幅值响应：
将分子和分母表示为多项式卷积。求分布在整个单位圆上的 2001 个点上的频率响应。
b0 = 0.05634; b1 = [1 1]; b2 = [1 -1.0166 1]; a1 = [1 -0.683]; a2 = [1 -1.4461 0.7957]; b = b0*conv(b1,b2); a = conv(a1,a2); [h,w] = freqz(b,a,'whole',2001);绘制以分贝表示的幅值响应。
plot(w/pi,20*log10(abs(h))) ax = gca; ax.YLim = [-100 20]; ax.XTick = 0:.5:2; xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)') ylabel('Magnitude (dB)')FIR 带通滤波器的频率响应
设计一个 FIR 带通滤波器，通带在 0.35π 和 0.8π 弧度/采样点之间，波纹为 3 dB。第一个阻带是从 0 到 0.1π 弧度/采样点，衰减为 40 dB。第二个阻带是从 0.9π 弧度/采样点到奈奎斯特频率，衰减为 30 dB。计算频率响应。同时以线性单位和分贝绘制其幅值。突出显示通带。
sf1 = 0.1; pf1 = 0.35; pf2 = 0.8; sf2 = 0.9; pb = linspace(pf1,pf2,1e3)*pi; bp = designfilt('bandpassfir', ... 'StopbandAttenuation1',40, 'StopbandFrequency1',sf1,... 'PassbandFrequency1',pf1,'PassbandRipple',3,'PassbandFrequency2',pf2, ... 'StopbandFrequency2',sf2,'StopbandAttenuation2',30); [h,w] = freqz(bp,1024); hpb = freqz(bp,pb); subplot(2,1,1) plot(w/pi,abs(h),pb/pi,abs(hpb),'.-') axis([0 1 -1 2]) legend('Response','Passband','Location','South') ylabel('Magnitude') subplot(2,1,2) plot(w/pi,db(h),pb/pi,db(hpb),'.-') axis([0 1 -60 10]) xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)') ylabel('Magnitude (dB)')高通滤波器的幅值响应
设计一个三阶高通巴特沃斯滤波器，它具有 0.5π 弧度/采样点的归一化 3-dB 频率。计算它的频率响应。用分贝表示幅值响应，并对其绘图。
[b,a] = butter(3,0.5,'high'); [h,w] = freqz(b,a); dB = mag2db(abs(h)); plot(w/pi,dB) xlabel('\omega / \pi') ylabel('Magnitude (dB)') ylim([-82 5])使用fvtool重复计算。
fvtool(b,a)模拟域
freqs 计算由两个输入系数向量b和a定义的模拟滤波器的频率响应。其运算类似于freqz的运算；您可以指定要使用的频率点数量，提供由任意数量的频率点构成的向量，并绘制滤波器的幅值和相位响应。此示例说明如何计算和显示模拟频率响应。
模拟 IIR 低通滤波器的比较
尝试此示例Copy Code Copy Command
设计截止频率为 2 GHz 的五阶模拟巴特沃斯低通滤波器。乘以 2π 以将频率转换为弧度/秒。计算滤波器在 4096 个点上的频率响应。
n = 5; fc = 2e9; [zb,pb,kb] = butter(n,2*pi*fc,"s"); [bb,ab] = zp2tf(zb,pb,kb); [hb,wb] = freqs(bb,ab,4096);设计一个具有相同边缘频率和 3 dB 通带波纹的五阶切比雪夫 I 型滤波器。计算它的频率响应。
[z1,p1,k1] = cheby1(n,3,2*pi*fc,"s"); [b1,a1] = zp2tf(z1,p1,k1); [h1,w1] = freqs(b1,a1,4096);设计一个具有相同边缘频率和 30 dB 阻带衰减的 5 阶切比雪夫 II 型滤波器。计算它的频率响应。
[z2,p2,k2] = cheby2(n,30,2*pi*fc,"s"); [b2,a2] = zp2tf(z2,p2,k2); [h2,w2] = freqs(b2,a2,4096);设计一个具有相同边缘频率和 3 dB 通带波纹、30 dB 阻带衰减的五阶椭圆滤波器。计算它的频率响应。
[ze,pe,ke] = ellip(n,3,30,2*pi*fc,"s"); [be,ae] = zp2tf(ze,pe,ke); [he,we] = freqs(be,ae,4096);设计一个具有相同边缘频率的 5 阶贝塞尔滤波器。计算它的频率响应。
[zf,pf,kf] = besself(n,2*pi*fc); [bf,af] = zp2tf(zf,pf,kf); [hf,wf] = freqs(bf,af,4096);对衰减绘图，以分贝为单位。以千兆赫为单位表示频率。比较滤波器。
plot([wb w1 w2 we wf]/(2e9*pi), ... mag2db(abs([hb h1 h2 he hf]))) axis([0 5 -45 5]) grid xlabel("Frequency (GHz)") ylabel("Attenuation (dB)") legend(["butter" "cheby1" "cheby2" "ellip" "besself"])巴特沃斯和切比雪夫 II 型滤波器具有平坦的通带和宽过渡带。切比雪夫 I 型和椭圆滤波器转降更快，但有通带波纹。切比雪夫 II 型设计函数的频率输入设置阻带的起点，而不是通带的终点。贝塞尔滤波器沿通带具有大致恒定的群延迟。
