如何推导-cfd的误差和稳定性分析

这是在做一维热方程（或扩散方程）显式差分格式的稳定性分析，采用的是Von Neumann 稳定性分析。下面一步一步推导你图中的结果。

考虑热方程：

[
u_t=\alpha u_{xx}
]

采用 FTCS（Forward Time Central Space）格式：

[
\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t}

\alpha
\frac{u_{j+1}^n-2u_j^n+u_{j-1}^n}{(\Delta x)^2}
]

1. 假设傅里叶模态解

设误差（或数值解）形式为

[
u_j^n = e^{an} e^{ik_m x_j}
]

其中：

• (a) 是增长率

• (k_m) 是波数

• (x_j=j\Delta x)

• (t_n=n\Delta t)

于是：

[
u_j^{n+1}=e^{a(n+!1)}e^{ik_mx_j}
]

也可以写成：

[