智能运动系统的非线性轨迹优化：微分动态规划与迭代二次调节方法
1. 绪论
1.1 从凸优化到非线性轨迹优化的必然性
凸优化在最优控制领域占据核心地位，其根本优势在于计算可靠性：在固定时间预算内，凸问题总能收敛到全局最优解，且解的精度可由多项式时间算法严格保证。基于凸优化的模型预测控制已在多个工程领域取得显著成功。在足式机器人领域，麻省理工学院研发的电动猎豹系列控制器采用凸二次规划在线求解地面反力，实现了多种动态步态的实时切换。在航天器动力下降制导领域，无损凸化技术将非凸的推力幅值约束松弛为二阶锥约束，并严格证明松弛在最优解处是紧的，使得火箭垂直回收与行星着陆问题可在多项式时间内获得全局最优解。
然而，当系统动力学呈现强非线性且工作点远离线性化区域时，凸优化的适用性受到根本限制。非线性动力学将等式约束从线性子空间转化为弯曲流形，导致可行集丧失凸性。具体而言，线性等式约束在轨迹空间中定义超平面，任意两点间的连线仍位于超平面内；而非线性等式约束定义弯曲子流形，两点间的直线通常偏离流形本身。这一几何性质导致优化问题可能出现多个局部极小值，收敛性保证不再成立。因此，当控制任务要求系统逼近执行器极限、执行大角度机动或处理强耦合非线性时，必须直面非线性轨迹优化问题。
1.2 非线性轨迹优化的方法论体系
求解非线性轨迹优化问题的算法可分为两大范式。第一范式源于数值最优控制，以微分动态规划及其变体为代表，通过动态规划原理将全局问题分解为局部子问题，沿时间维度反向递推求解。第二范式源于数值优化，以序列二次规划及其直接配点变体为代表，将整个轨迹
