【基于三次&&五次多项式的机械臂关节空间轨迹规划】 代码主要功能: 1. 可以实现任意个数点位间规划； 2. 提供基于ur3的轨迹规划demo。
在机械臂的运动控制中，轨迹规划是至关重要的一环。它决定了机械臂如何从一个位置移动到另一个位置，不仅影响运动的平稳性，还关乎效率与精度。今天咱们就来探讨基于三次和五次多项式的机械臂关节空间轨迹规划，并且看看如何通过代码实现任意个数点位间的规划，还会给出基于 UR3 的轨迹规划示例。
三次多项式轨迹规划原理
三次多项式轨迹规划常用于点对点的简单运动。假设机械臂在起始点关节角度为 $\theta{start}$，目标点关节角度为 $\theta{end}$，运动时间为 $T$。我们希望找到一个三次多项式函数 $\theta(t) = a0 + a1t + a2t^2 + a3t^3$ 来描述关节角度随时间的变化。
根据边界条件：
- 当 $t = 0$ 时，$\theta(0) = \theta{start}$，可得 $a0 = \theta_{start}$。
- 当 $t = T$ 时，$\theta(T) = \theta{end}$，即 $\theta{end} = a0 + a1T + a2T^2 + a3T^3$。
- 起始时刻速度为 0，即 $\dot{\theta}(0) = 0$，对 $\theta(t)$ 求导 $\dot{\theta}(t) = a1 + 2a2t + 3a3t^2$，可得 $a1 = 0$。
- 目标时刻速度也为 0，即 $\dot{\theta}(T) = 0$，也就是 $0 = a1 + 2a2T + 3a_3T^2$。
将 $a0 = \theta{start}$ 和 $a1 = 0$ 代入后面两个式子，就可以解出 $a2$ 和 $a_3$，从而确定整个多项式。
下面是一个简单的 Python 代码实现示例：
import numpy as np def cubic_trajectory(theta_start, theta_end, T, num_points): t = np.linspace(0, T, num_points) a0 = theta_start a1 = 0 a2 = 3 * (theta_end - theta_start) / T ** 2 a3 = -2 * (theta_end - theta_start) / T ** 3 theta = a0 + a1 * t + a2 * t ** 2 + a3 * t ** 3 return theta代码分析：首先定义了cubictrajectory函数，接收起始角度thetastart、目标角度thetaend、运动总时间T和要生成的点数numpoints。使用np.linspace生成从 0 到T的等间隔时间点t。然后根据前面推导出的公式计算系数a0、a1、a2和a3，最后根据多项式公式计算每个时间点对应的关节角度theta并返回。
五次多项式轨迹规划原理
五次多项式轨迹规划可以让机械臂的运动更加平滑，它考虑了起始点和目标点的加速度也为 0 的条件。设五次多项式为 $\theta(t) = a0 + a1t + a2t^2 + a3t^3 + a4t^4 + a5t^5$。
【基于三次&&五次多项式的机械臂关节空间轨迹规划】 代码主要功能: 1. 可以实现任意个数点位间规划； 2. 提供基于ur3的轨迹规划demo。
边界条件如下：
- 当 $t = 0$ 时，$\theta(0) = \theta{start}$，可得 $a0 = \theta_{start}$。
- 当 $t = T$ 时，$\theta(T) = \theta{end}$，即 $\theta{end} = a0 + a1T + a2T^2 + a3T^3 + a4T^4 + a5T^5$。
- 起始时刻速度为 0，即 $\dot{\theta}(0) = 0$，对 $\theta(t)$ 求导 $\dot{\theta}(t) = a1 + 2a2t + 3a3t^2 + 4a4t^3 + 5a5t^4$，可得 $a1 = 0$。
- 目标时刻速度也为 0，即 $\dot{\theta}(T) = 0$，也就是 $0 = a1 + 2a2T + 3a3T^2 + 4a4T^3 + 5a_5T^4$。
- 起始时刻加速度为 0，即 $\ddot{\theta}(0) = 0$，对 $\dot{\theta}(t)$ 求导 $\ddot{\theta}(t) = 2a2 + 6a3t + 12a4t^2 + 20a5t^3$，可得 $a_2 = 0$。
- 目标时刻加速度为 0，即 $\ddot{\theta}(T) = 0$，也就是 $0 = 2a2 + 6a3T + 12a4T^2 + 20a5T^3$。
通过这些边界条件可以解出所有系数，确定五次多项式。
下面是对应的 Python 代码实现：
def quintic_trajectory(theta_start, theta_end, T, num_points): t = np.linspace(0, T, num_points) a0 = theta_start a1 = 0 a2 = 0 a3 = 10 * (theta_end - theta_start) / T ** 3 a4 = -15 * (theta_end - theta_start) / T ** 4 a5 = 6 * (theta_end - theta_start) / T ** 5 theta = a0 + a1 * t + a2 * t ** 2 + a3 * t ** 3 + a4 * t ** 4 + a5 * t ** 5 return theta代码分析：quintic_trajectory函数同样接收起始角度、目标角度、运动总时间和点数。使用np.linspace生成时间点t。根据前面推导出的公式计算系数a0到a5，再根据多项式公式计算每个时间点对应的关节角度theta并返回。
实现任意个数点位间规划
为了实现任意个数点位间的规划，我们可以将多个点之间的运动依次连接起来。下面代码展示了如何做到这一点：
def multi_point_trajectory(theta_points, T_list, num_points_per_segment, method='cubic'): all_theta = [] for i in range(len(theta_points) - 1): theta_start = theta_points[i] theta_end = theta_points[i + 1] T = T_list[i] if method == 'cubic': segment_theta = cubic_trajectory(theta_start, theta_end, T, num_points_per_segment) else: segment_theta = quintic_trajectory(theta_start, theta_end, T, num_points_per_segment) all_theta.extend(segment_theta) return np.array(all_theta)代码分析：multipointtrajectory函数接收关节角度点列表thetapoints、每段运动时间列表Tlist、每段生成的点数numpointspersegment以及规划方法（默认为三次多项式'cubic'）。通过循环遍历每两个相邻的点，根据指定的方法进行轨迹规划，并将每段的结果添加到alltheta列表中，最后返回包含所有点的关节角度数组。
基于 UR3 的轨迹规划 demo
假设 UR3 机械臂有 6 个关节，我们来规划它在几个特定点位间的运动。这里简单假设了一些关节角度值和运动时间。
# 假设 UR3 机械臂的一些关节角度点位 ur3_theta_points = [[0, 0, 0, 0, 0, 0], [np.pi / 4, np.pi / 4, np.pi / 4, np.pi / 4, np.pi / 4, np.pi / 4], [np.pi / 2, np.pi / 2, np.pi / 2, np.pi / 2, np.pi / 2, np.pi / 2]] # 每段运动时间 ur3_T_list = [2, 2] # 每段生成 100 个点 num_points_per_segment = 100 # 使用三次多项式规划 ur3_trajectory = multi_point_trajectory(ur3_theta_points, ur3_T_list, num_points_per_segment, method='cubic') print(ur3_trajectory)代码分析：首先定义了ur3thetapoints列表，包含了 UR3 机械臂的三个关节角度点位。ur3Tlist定义了每段运动的时间。然后调用multipointtrajectory函数，使用三次多项式方法进行轨迹规划，每段生成 100 个点，最后打印出规划得到的轨迹数据。
通过上述代码和原理分析，我们对基于三次和五次多项式的机械臂关节空间轨迹规划有了更深入的理解，并且能够实现多点位间的规划以及针对 UR3 这样的特定机械臂进行轨迹规划示例。希望这些内容能对大家在机械臂运动控制的研究和实践中有所帮助。
